Matrice che rappresenta un'applicazione lineare?
Domanda di: Dott. Mariagiulia Rizzo | Ultimo aggiornamento: 1 gennaio 2022Valutazione: 4.8/5 (32 voti)
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di trasformazione, anche detta matrice associata ad una trasformazione o matrice rappresentativa dell'operatore rispetto alle sue basi, ...
Quando una matrice è lineare?
Una matrice associata a un'applicazione lineare (o matrice rappresentativa di un'applicazione lineare) rappresenta la trasformazione lineare cui è riferita rispetto a due fissate basi degli spazi vettoriali di partenza e d'arrivo.
Come determinare l'applicazione lineare?
Definizione Sia f : V → V un'applicazione da uno spazio vettoriale V in uno spazio vettoriale V . Tale f si dice lineare se verifica le seguenti propriet`a. { f(u + v) = f(u) + f(v) per ogni u, v ∈ V, f(au) = af(u) per ogni a ∈ R,u ∈ V.
Come si calcola la matrice rappresentativa?
Per trovare gli elementi della matrice rappresentativa prendo come riferimento le due basi canoniche degli spazi vettoriali. Se non avessi usato le basi canoniche degli spazi vettoriali, ora avrei dovuto calcolare le coordinate rispetto alla base BW per avere le colonne della matrice rappresentativa.
Come si calcola il ker di F?
Per determinare una base di ker(f) basta allora trovare vettori w1,w2 ∈ R4 linearmente indipendenti e tali che f(v) = 0. Poiché f(v1) = f(v2) ed f(v4) = 0 segue che basta scegliere w1 := v1 − v2 = (1,−1,0,−2), w2 := v4 = (0,0,0,1).
Matrice associata a una funzione lineare
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Quali sono le matrici elementari?
In algebra lineare, con matrice elementare si indica generalmente una matrice quadrata di un certo tipo, utile in alcuni algoritmi come l'algoritmo di Gauss o le fattorizzazioni LU e QR.
Quando un'applicazione lineare è iniettiva o suriettiva?
L'applicazione ϕ si dice iniettiva se dati x ,x ∈ X con x = x si ha ϕ(x ) = ϕ(x ). l'applicazione ϕ si dice invece suriettiva se im(ϕ) = Y .
Cosa si intende per algebra lineare?
L'algebra lineare è la branca della matematica che si occupa dello studio dei vettori, spazi vettoriali (o spazi lineari), trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari.
Che cosa è la base canonica?
Una base è detta canonica quando ogni vettore vi ha tutti gli elementi a zero a parte l'i-esimo elemento. In ogni spazio vettoriale Kn esiste sempre una base canonica.
Come capire se un sistema è lineare?
In generale, un sistema lineare può essere: Determinato, quando ha una sola soluzione. Impossibile, quando non ha nessuna soluzione. Indeterminato, quando ha infinite soluzioni.
Cosa è il nucleo di un'applicazione lineare?
Prende il nome di nucleo di un'applicazione lineare un particolare sottoinsieme del dominio dell'applicazione, formato da tutti e soli vettori del dominio che hanno come immagine lo zero del codominio.
Cosa vuol dire operatore lineare?
Definizione. Un operatore lineare tra spazi vettoriali è una trasformazione lineare definita su una varietà lineare contenuta nello spazio vettoriale di partenza. Data una trasformazione lineare tra spazi normati, essa è continua ovunque se e solo se è continua in un punto, ed è continua se e solo se è limitata.
Quando si può Diagonalizzare una matrice?
Se il campo su cui si lavora è quello dei numeri complessi, una matrice n per n ha n autovalori (contando ciascuno con la relativa molteplicità, per il teorema fondamentale dell'algebra). Se le molteplicità sono tutte 1, la matrice è diagonalizzabile.
Dove si applicano le matrici?
Le matrici sono ampiamente usate in matematica e in tutte le scienze per la loro capacità di rappresentare in maniera utile e concisa diversi oggetti matematici, come valori che dipendono da due parametri o anche sistemi lineari, cosa, quest'ultima, che le rende uno strumento centrale dell'analisi matematica.
Che cosa è l algebra?
In pratica l'algebra è come l'aritmetica, solo che si usano anche delle lettere al posto (o insieme a) dei numeri. Serve per descrivere e risolvere operazioni, rendendole di natura "generale", valide, cioè, per diverse situazioni, con diversi numeri (dati).
A cosa serve studiare i vettori?
I vettori sono segmenti orientati aventi lunghezza, direzione e verso. Essi possono essere usati per rappresentare determinate entità fisiche come le forze. ... Con essa inoltre, si studiano tutti i fenomeni lineari, non solo nel campo della fisica, ma anche in quello delle scienze naturali e sociali.
A cosa serve studiare geometria?
Studiare la geometria, quindi, significa mettersi nelle condizioni di misurare gli oggetti che ci circondano. La geometria studia le proprietà delle figure geometriche e le loro reciproche relazioni sia nello spazio che nel piano.
Come capire se una matrice è iniettiva?
f:V->W. Se dim(V)<=dim(W) allora l'applicazione è iniettiva. Se dim(W)<=dim(V) l'applicazione è suriettiva.
Quando una funzione lineare è iniettiva?
è iniettiva. Ricordiamo, infatti, che una condizione necessaria e sufficiente affinché un'applicazione lineare sia iniettiva è che il suo nucleo sia banale, ossia che abbia dimensione pari a zero. un endomorfismo sia iniettivo che suriettivo, quindi è un automorfismo, e la dimostrazione è conclusa.
Quando una trasformazione è iniettiva?
Omomorfismi. Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro. In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo.
Qual è la condizione di applicabilità della fattorizzazione LU?
Per stabilire se una matrice non singolare è LU-fattorizzabile basterà quindi calcolare i minori di testa e verificare che siano diversi da 0. è, invece, LU-fattorizzabile, infatti tutti i suoi minori di testa sono diversi da 0.
Come si calcola il rango?
...
Calcolo del rango con il teorema di Kronecker (teorema degli orlati)
- Si individua una sottomatrice quadrata di ordine 2 con determinante diverso da zero. ...
- Si orla la sottomatrice di ordine 2 per formarne una di ordine 3, e si calcola il determinante di quest'ultima.
Come trovare l inversa di un'applicazione lineare?
Come fare? Secondo una proprietà delle applicazioni lineari, se un'applicazione lineare F è invertibile, allora la matrice Af associata a F è in relazione con la matrice As dell'applicazione inversa F-1 e con la matrice identità I. E' quindi sufficiente calcolare la matrice inversa di Af.
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