Quando una funzione è integrabile in senso generalizzato?

Come capire se un integrale converge?

Se il limite è finito, l'integrale improprio (95.13) si dice convergente, altrimenti si dice divergente. Lasciamo al lettore la cura di formulare un criterio di confronto per questo tipo di integrali impropri.

A cosa serve la funzione integrale?

La funzione integrale è una funzione che esprime la misura dell'area (con segno) sottesa al grafico di un'altra funzione. ... Se F è la funzione integrale di f, F ci dice quanto vale l'area sotto al grafico di f da un certo punto fissato x 0 x_0 x0 sino a un generico x.

Come deve essere una funzione per essere integrabile?

Una funzione integrabile su un intervallo [a,b] è una funzione per cui esiste l'integrale definito sull'intervallo, ossia per cui l'integrale inferiore e l'integrale superiore sull'intervallo esistono finiti ed uguali.

Come si vede se una funzione è sommabile?

In genere si dice che una funzione è "sommabile" su un certo intervallo se ne esiste finito l'integrale del valore assoluto. In simboli: f è sommabile su I intervallo (non necessariamente chiuso e limitato) se e solo se f è integrabile e int_I |f| < \infty.

Cosa vuol dire che una funzione è limitata?

Sempre per le funzioni reali, si indica come funzione limitata superiormente una funzione il cui valore non può mai essere superiore ad un dato valore e come funzione limitata inferiormente una funzione il cui valore non può mai essere minore di un dato valore.

Come si legge la somma di Riemann?

Come capire se una funzione è integrabile in senso improprio?

Nel caso in cui la funzione assegnata non sia continua nell'intervallo di integrazione, oppure almeno uno degli estremi di integrazione non sia finito si parla di INTEGRALE IMPROPRIO.

Quando una funzione è localmente integrabile?

In matematica, una funzione localmente integrabile è una funzione che è integrabile su ogni sottoinsieme compatto del dominio. è detta localmente integrabile.

Come nascono gli integrali?

L'idea di base del concetto di integrale era nota ad Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., ed era contenuta nel metodo da lui usato per il calcolo dell'area del cerchio o dell'area sottesa al segmento di un ramo di parabola, detto metodo di esaustione, già proposta da Eudosso di Cnido.

Come si fa il calcolo integrale?

Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx . I numeri a e b si dicono estremi dell'integrale: a - estremo inferiore, b - estremo superiore. La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d'integrazione. rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.

Cosa vuol dire integrare in matematica?

“Integrare” una funzione ha un significato duplice: da un lato significa “fare l'operazio- ne inversa della derivata”, ovvero trovare la famiglia di tutte le funzioni che, derivate, ci d`anno la funzione di partenza; dall'altro significa “calcolare l'area della parte di piano cartesiano sottesa dal grafico della ...

Come si fa a vedere se una funzione è continua?

Una funzione si dice continua se é continua in ogni punto del dominio di appartenenza. Da quanto detto si deducono facilmente i seguenti risultati. Le funzioni razionali sono continue in tutti i punti del loro campo di definizione ad esclusione dei valori che annullano il denominatore.

Come si fa a capire se una funzione è derivabile?

Una funzione derivabile in un punto è una funzione per cui esiste la derivata prima nel punto considerato: più precisamente, una funzione è derivabile in un punto se esistono finiti e coincidono il limite sinistro e destro del rapporto incrementale calcolato nel punto.

Quali sono le classi di funzioni integrabili?

Le classi di funzioni integrabili sono famiglie di funzioni dotate di particolari proprietà che ne garantiscono l'integrabilità su un intervallo chiuso e limitato, e che forniscono un utile riferimento per capire se un'assegnata funzione sia integrabile o meno.

Cosa enuncia la condizione sufficiente di integrabilità?

Teorema della condizione sufficiente di integrabilità

Se una funzione f(x) è continua nell'intervallo [a,b], allora ammette delle primitive F(x) nello stesso intervallo. Da questo teorema si deduce che tutte le funzioni continue sono integrabili. Tuttavia, non tutte le funzioni continue sono derivabili.

Quando una funzione è integrabile secondo Lebesgue?

In analisi matematica, l'integrale di Lebesgue di una funzione, il cui nome è dovuto a Henri Lebesgue, è l'integrale rispetto a una misura definita su una sigma-algebra. ... Ad esempio, la funzione di Dirichlet è integrabile per mezzo dell'integrale di Lebesgue, mentre non lo è con l'integrale di Riemann.

Quando una funzione non ha primitive?

Una funzione f con una discontinuità di prima specie in un intervallo non può avere primitiva.

Che differenza ce tra integrale definito e indefinito?

NB: L'integrale definito è un numero, l'integrale indefinito è un insieme di infinite funzioni (le primitive), descritto al variare di una costante reale. ... Le tecniche di integrazione vengono applicate al calcolo di superfici e di volumi dei solidi di rotazione.

Quando un integrale è positivo?

Bisogna stare attenti quando si parla di integrale e di area. ... Possiamo dire invece che l'area compresa al di sotto del grafico di una certa funzione vale un certo numero, e che il suo integrale su un certo intervallo (che è un numero) è positivo o negativo, o anche ≥ 0 \geq 0 ≥0 o ≤ 0 \leq 0 ≤0.

Qual è la corretta definizione di integrale?

integrale In matematica, operazione eseguita su una funzione di variabile reale o complessa per determinare l'area delimitata dalla funzione stessa e dall'intervallo su cui è definita.